Дроби мы постоянно используем в жизни. Например, когда едим торт с друзьями. Торт можно разделить на 8 равных частей или на 8 долей . Доля – это равная часть от чего-то целого. Четыре друга съели по кусочку торта. Четыре взяли из восьми кусочков можно записать математически в виде обыкновенной дроби \(\frac{4}{8}\), читается дробь “четыре восьмых” или “четыре деленное на восемь”. Обыкновенную дробь еще называют простой дробью .
Дробная черта заменяет деление:
\(4 \div 8 = \frac{4}{8}\)
Это мы записали доли в дробях. В буквенном виде будет так:
\(\bf m \div n = \frac{m}{n}\)
4 – числитель
или делимое, находится вверху над дробной чертой и показывает сколько частей или долей из общего было взято.
8 – знаменатель
или делитель, находится внизу под дробной чертой и показывает общее количество частей или долей.
Если мы приглядимся внимательно, то увидим, что друзья съели половину торта или одну часть из двух. Запишем в виде обыкновенной дроби \(\frac{1}{2}\), читается “одна вторая”.
Рассмотрим еще пример:
Имеется квадрат. Квадрат разделили на 5 равных частей. Две части закрасили. Запишите дробь для закрашенных частей? Запишите дробь для не закрашенных частей?
Две части закрасили, а всего частей пять, поэтому дробь будет иметь вид \(\frac{2}{5}\), читается дробь “две пятых”.
Три части не закрасили, всего частей пять, поэтому дробь запишем так \(\frac{3}{5}\), читается дробь “три пятых”.
Разделим квадрат на более мелкие квадраты и запишем дроби, для закрашенных и не закрашенных частей.
Закрашенных 6 частей, а всего 25 частей. Получаем дробь \(\frac{6}{25}\) , читается дробь “шесть двадцать пятых”.
Не закрашенных 19 частей, а всего 25 частей. Получаем дробь \(\frac{19}{25}\), читается дробь “девятнадцать двадцать пятых”.
Закрашенных 4 части, а всего 25 частей. Получаем дробь \(\frac{4}{25}\), читается дробь “четыре двадцать пятых”.
Не закрашенных 21 частей, а всего 25 частей. Получаем дробь \(\frac{21}{25}\), читается дробь “двадцать один двадцать пятых”.
Любое натуральное число можно представить в виде дроби . Например:
\(5 = \frac{5}{1}\)
\(\bf m = \frac{m}{1}\)
Любое число делиться на единицу, поэтому это число можно представить в виде дроби.
Вопросы по теме “обыкновенные дроби”:
Что такое доля?
Ответ: доля
– это равная часть от чего-то целого.
Что показывает знаменатель?
Ответ: знаменатель показывает на сколько всего частей или долей поделено.
Что показывает числитель?
Ответ: числитель показывает сколько частей или долей было взято.
Дорога составляла 100м. Миша прошел 31м. Запишите дробью выражение сколько прошел Миша?
Ответ:\(\frac{31}{100}\)
Что такое обыкновенная дробь?
Ответ: обыкновенная дробь – это отношение числителя к знаменателю, где числитель меньше знаменателя. Пример, обыкновенных дробей \(\frac{1}{4}, \frac{3}{7}, \frac{5}{13}, \frac{9}{11}…\)
Как перевести натуральное число в обыкновенную дробь?
Ответ: любое число можно записать в виде дроби, например, \(5 = \frac{5}{1}\)
Задача №1:
Купили 2кг 700г дыни. Мише отрезали \(\frac{2}{9}\) дыни. Чему равна масса отрезанного кусочка? Сколько граммов дыни осталось?
Решение:
Переведем килограммы в граммы.
2кг = 2000г
2000г + 700г = 2700г всего весит дыня.
Мише отрезали \(\frac{2}{9}\) дыни. В знаменателе стоит число 9, значит на 9 частей разделили дыню.
2700: 9 =300г масса одного кусочка.
В числители стоит число 2, значит надо Мише дать два кусочка.
300 + 300 = 600г или 300 ⋅ 2 = 600г столько дыни съел Миша.
Чтобы найти какая масса дыни осталась нужно вычесть от общей массы дыни съеденную массу.
2700 — 600 = 2100г осталось дыни.
Числитель дроби - это число, стоящее в записи обыкновенной дроби над дробной чертой, то есть сверху. Числитель показывает количество долей.
Знаменатель дроби - это число, стоящее в записи дроби под дробной чертой, то есть снизу. Знаменатель показывает, какие это доли и на сколько равных частей разделена единица.
Дробная черта - это горизонтальная черта в записи дроби, которая отделяет числитель и знаменатель друг от друга.
Вместе, числитель и знаменатель дроби, называются членами дроби .
Как читать запись обыкновенных дробей
Запись обыкновенных дробей читается так: сначала называется числитель, затем - знаменатель. При чтении числителя, он всегда должен отвечать на вопрос: сколько долей? . Например, одна , две , три и т. д. При чтении знаменателя, он всегда должен отвечать на один из вопросов: какая? или каких? . На какой именно из этих вопросов он должен отвечать, зависит от количества долей. Если в числителе стоит число 1, то знаменатель будет отвечать на вопрос какая? , если число больше единицы, то на вопрос каких? . Если в числителе стоит число 0, то знаменатель всегда будет отвечать на вопрос каких? .
По этому правилу читаются все обыкновенные дроби.
Пример 1. Прочитайте дробь , назовите числитель и знаменатель.
Решение:
Дробь читается так: одна восьмая (сколько долей взято? - одна , одна какая? - восьмая ). Числитель - один (или единица ), знаменатель - восемь .
Пример 2. Прочитайте дробь .
Решение:
Дробь читается так: три седьмых (сколько долей взято? - три , три каких? - седьмых ).
Дробь. Числитель и знаменатель дроби
Определение 1 . Дробью называют одну или несколько одинаковых долей (частей) предмета или некоторой величины.
Дробь записывают при помощи двух натуральных чисел, одно из которых стоит над горизонтальной чертой, а второе - под нею.
Определение 2 . Число, стоящее над чертой, называют числителем дроби . Число, стоящее под чертой, называют знаменателем дроби .Числитель и знаменатель называют членами дроби .
Знаменатель дроби показывает, на сколько одинаковых долей мы делим предмет или величину, а числитель дроби показывает, сколько таких долей взято .
Например, дробь
у которой числитель равен 8 , а знаменатель равен 17 , означает, что предмет или величину мы делим на 17 равных долей (частей) и берем 8 таких долей.
Пример 1 . В классе 25 учеников, из которых посещают театральный кружок. Сколько учеников ходят в театральный кружок?
Решение . Для решения примера нужно 25 учеников разделить на 5 частей и взять 2 таких части.
Ответ . 10 учеников.
Пример 2 . Турист в первый день похода прошел намеченного маршрута, а во второй день - оставшиеся 24 километра. Сколько всего километров прошел турист?
Решение . Весь маршрут разделен на 7 равных частей, 3 из которых турист прошел в первый день (рис. 1).
| 1 день | 1 день | 1 день | 2 день | 2 день | 2 день | 2 день |
| 1
день |
| 1
день |
| 1
день |
| 2
день |
| 2
день |
| 2
день |
| 2
день |
Из рисунка 1 видно, что 24 километра составляют 4 из 7 частей маршрута. Таким образом, 1 часть маршрута равна
24: 4 = 6 (км) ,
а весь маршрут равен
Ответ . 42 километра.
Замечание. Если не указано, от какого предмета или какой величины берется дробь, то считают, что дробь взята от числа 1 .
Термин дробь имеет синонимы: простая дробь , обыкновенная дробь , рациональная дробь , дробное число .
Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа
Определение 3 . Если у дроби числитель меньше знаменателя, то ее называют правильной дробью . В противном случае – неправильной дробью .
Из этого определения, в частности, вытекает, что правильная дробь меньше единицы, а неправильная - больше единицы или равна единице.
Пример 3 . - правильная дробь, и - неправильные дроби.
Неправильную дробь всегда можно представить в виде суммы целого числа и правильной дроби. Эту операцию называют выделением целой части из неправильной дроби и осуществляют при помощи деления с остатком числителя неправильной дроби на знаменатель.
Пример 4 .
, 
Число является примером смешанного числа . Целое число 2 и правильную дробь называют целой и дробной частью смешанного числа соответственно.
Любое смешанное число всегда можно обратить в неправильную дробь, например,
Основное свойство дроби, сокращение дробей, несократимая дробь
Основным свойством дроби называют следующее
Утверждение . Дробь превращается в равную дробь, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число.
Определение 4 . Операцию, при которой числитель и знаменатель дроби делят на одно и то же число, называют сокращением дроби .
Пример 4 .
Определение
Число, составленное из одной или нескольких равных долей единицы называется обыкновенной дробью или дробью .
Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби . Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая. Читаются дроби так: вначале называется числитель, затем - знаменатель.
Например. $\frac{3}{4}=3 / 4$ . Читается: три четвертых.
Числитель и знаменатель дроби
Определение
Под чертой дроби пишут число, показывающее, на сколько долей (частей) разделена единица. Оно называется знаменателем дроби .
Над дробной чертой пишут число, показывающее, сколько таких частей взято. Это число называется числителем дроби .
Например. У дроби $\frac{2}{3}$ (две третьих) числитель равен 2, а знаменатель - 3.
Например. На рисунке 1 изображена дробь $\frac{3}{4}$ . Знаменатель дроби, который равен 4, указывает на то, что целое было разделено на четыре части (доли), а числитель, равный 3, что из этих четырех частей было взято три.
Дробная черта дроби, по сути, заменяет знак деления. То есть частное от деления одного числа на другое равна дроби, числитель которой равен делимому, а знаменатель - делителю.
Например. $3: 5=\frac{3}{5}, \frac{7}{8}=7: 8$
Долей единицы и представляется в виде \frac{a}{b} .
Числитель дроби (a) — число, находящееся над чертой дроби и показывающее количество долей, на которые была поделена единица.
Знаменатель дроби (b) — число, находящееся под чертой дроби и показывающее на сколько долей поделили единицу.
Скрыть Показать
Основное свойство дроби
Если ad=bc , то две дроби \frac{a}{b} и \frac{c}{d} считаются равными. К примеру, равными будут дроби \frac35 и \frac{9}{15} , так как 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac{12}{7} и \frac{24}{14} , так как 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .
Из определения равенства дробей следует, что равными будут дроби \frac{a}{b} и \frac{am}{bm} , так как a(bm)=b(am) — наглядный пример применения сочетательного и переместительного свойств умножения натуральных чисел в действии.
Значит \frac{a}{b} = \frac{am}{bm} — так выглядит основное свойство дроби .
Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.
Сокращение дроби — это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.
Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.
Например, \frac{45}{60}=\frac{15}{20} (числитель и знаменатель делится на число 3 ); полученную дробь снова можно сократить, разделив на 5 , то есть \frac{15}{20}=\frac 34 .
Несократимая дробь — это дробь вида \frac 34 , где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби — сделать дробь несократимой.
Приведение дробей к общему знаменателю
Возьмем в качестве примера две дроби: \frac{2}{3} и \frac{5}{8} с разными знаменателями 3 и 8 . Для того, чтобы привести данные дроби к общему знаменателю и сначала перемножим числитель и знаменатель дроби \frac{2}{3} на 8 . Получаем следующий результат: \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24} . Затем умножаем числитель и знаменатель дроби \frac{5}{8} на 3 . Получаем в итоге: \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24} . Итак, исходные дроби приведены к общему знаменателю 24 .
Арифметические действия над обыкновенными дробями
Сложение обыкновенных дробей
а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:
\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b} ;
б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а) :
\frac{7}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7 \cdot 4}{3}+\frac{1 \cdot 3}{4}=\frac{28}{12}+\frac{3}{12}=\frac{31}{12} .
Вычитание обыкновенных дробей
а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:
\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b} ;
б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а) .
Умножение обыкновенных дробей
Умножение дробей подчиняется следующему правилу:
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d} ,
то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.
Например:
\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{8} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 8}=\frac{12}{40} .
Деление обыкновенных дробей
Деление дробей производят следующим способом:
\frac{a}{b} : \frac{c}{d}= \frac{ad}{bc} ,
то есть дробь \frac{a}{b} умножается на дробь \frac{d}{c} .
Пример: \frac{7}{2} : \frac{1}{8}=\frac{7}{2} \cdot \frac{8}{1}=\frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 1}=\frac{56}{2} .
Взаимно обратные числа
Если ab=1 , то число b является обратным числом для числа a .
Пример: для числа 9 обратным является \frac{1}{9} , так как 9 \cdot \frac{1}{9}=1 , для числа 5 — \frac{1}{5} , так как 5 \cdot \frac{1}{5}=1 .
Десятичные дроби
Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .
Например: \frac{6}{10}=0,6;\enspace \frac{44}{1000}=0,044 .
Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n или смешанные числа.
Например: 5\frac{1}{10}=5,1;\enspace \frac{763}{100}=7\frac{63}{100}=7,63 .
В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10 .
Пример: 5 — делитель числа 100 , поэтому дробь \frac{1}{5}=\frac{1 \cdot 20}{5 \cdot 20}=\frac{20}{100}=0,2 .
Арифметические действия над десятичными дробями
Сложение десятичных дробей
Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.
Вычитание десятичных дробей
Выполняется аналогично сложению.
Умножение десятичных дробей
При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.
Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3 . Имеем 27 \cdot 13=351 . Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа — одна цифра после запятой; 1+1=2 ). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,51 .
Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:
Для умножения на 10 , 100 , 1000 , надо в десятичной дроби перенести запятую на 1 , 2 , 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).
Например: 1,47 \cdot 10\,000 = 14 700 .
Деление десятичных дробей
Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.
Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:
.png)
Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12 . Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100 , то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112 , то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:
.png)
Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.
2,8: 0,09= \frac{28}{10} : \frac {9}{100}= \frac{28 \cdot 100}{10 \cdot 9}=\frac{280}{9}=31 \frac{1}{9} .
Loading...